ax lnx|函数f（x）=（a+1）lnx+ax*x+1,设a小于等于-2,证明任意x1,x2大于0,|f（ax lnx|函数f（x）=（a+1）lnx+ax*x+1，设a小于等于-2,证明任意x1，x2大于0，|f（x1)-f(x2)|大于等于4|x1-x2|

显然函数定义域:x∈(0,+∞)
求导:f'(x)=(a+1)/x+2ax
=(2ax^2+a+1)/x
1.a=0
f'(x)=1/x>0
故f(x)在全域单增
2.a>0
f'(x)>0
故f(x)在全域单增
3.-1令f'(x)=0
则x=根号下(-(a+1)/2a)
列表
x (0,根号下(-(a+1)/2a) 根号下(-(a+1)/2a) (根号下(-(a+1)/2a),+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
故f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减
4.a≤-1
f'(x)≤0
故f(x)在全域单减
综上a≥0时，f(x)域上单增
-1a≤-1时，f(x)在全域单减

证明： 设x1=c*x2,其中c为大于1的任何实数，f(x1)-f(x2)=(a+1)lnc+a(c*c-1)*x2*x2 因为a为负数
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|=-(a+1)lnc/[(c-1)*x2]-a(c+1)x2>=2*根号{a(a+1)(c+1)lnc/(c-1)}
因为 a小于等于-2，所以根号[a(a+1)]>=根号2
[(c+1)/(c-1)]lnc=[1+2/(c-1)]lnc
所以我们现在要证明上面这个关于c(c>1)的函数的最小值大于等于2即可
下面用到的是大学知识：
现在我们只要考虑函数 f(c)=lnc+2lnc/(c-1) c>1;可令 c=1+y,y>0
所以f(y)=ln(1+y)+2ln(1+y)/y
当y代入f(y)得 f(y)=2+x^2/6-x^3/6....>=2;
当y>=1时，显然f(y)>=3*ln2>2
综合得a(a+1)*f(c)>=4
所以|f(x1)-f（x2)|>=4|x1-x2|

看小事的空间

显然函数定义域:x∈(0,+∞)
求导:f'(x)=(a+1)/x+2ax
=(2ax^2+a+1)/x
1.a=0
f'(x)=1/x>0
故f(x)在全域单增
2.a>0
f'(x)>0
故f(x)在全域单增
3.-1令f'(x)=0
则x=根号下(-(a+1)/2a)
列表
x (0,根号下(-(a+1)/2a) 根号下(-(a+1)/2a) (根号下(-(a+1)/2a),+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
故f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减
4.a≤-1
f'(x)≤0
故f(x)在全域单减
综上a≥0时，f(x)域上单增
-1a≤-1时，f(x)在全域单减
如果您有什么不明白的请随时问我，祝您学习进步
参考资料： 我们爱数学团sniper123123