∫(0->1)dx∫(x^2->x)(x^2+y^2)^(-1/2)dy化为极坐标形式的二次积分为多少?其值为多少?
问题描述：
∫(0->1)dx∫(x^2->x)(x^2+y^2)^(-1/2)dy化为极坐标形式的二次积分为多少?其值为多少?
求详解
答
本题主要求y=x²的极坐标方程,即rsinθ=r²cos²θ,整理后为：r=sinθ/cos²θ
则∫(0->1)dx∫(x^2->x)(x^2+y^2)^(-1/2)dy
=∫[0->π/4]dθ∫[0->sinθ/cos²θ] (1/r)*rdr
=∫[0->π/4]dθ∫[0->sinθ/cos²θ] 1dr
=∫[0->π/4] sinθ/cos²θdθ
=-∫[0->π/4] 1/cos²θd(cosθ)
=1/cosθ [0->π/4]
=√2-1= =额。。。我可以问一下为什么是0->sinθ/cos²θ 吗，为什么是从0开始到四分之π？前面不是有推导吗？r=sinθ/cos²θ是y=x²的极坐标方程，r的变化范围从0到sinθ/cos²θ，画个图就看出来了。