求星形线的质心,x=acos^3t;y=asin^3t(0≤t≤π/2),a>0
问题描述：
求星形线的质心,x=acos^3t;y=asin^3t(0≤t≤π/2),a>0
书上是先求微元ds,然后积分求总长度l=(0,π/2)∫ds,然后分别求x和y的积分,(0,π/2)∫xds和y的,最后用x、y的积分除以总长度l就得出了质心的坐标.
我这完全没看懂啊,x、y的积分和总长度,与质心有什么关系?
质心不是静力矩除以质量吗
这里的ds、l、x与y的积分都是是表示些什么意思呢?
还有星形线t的取值范围0≤t≤π/2,不同的取值范围对星形线的图像有什么影响啊?
答
应该是假设了线的线密度是一个定值,所以线的质量和长度成正比.
ds是长度微元,ds = \sqrt(dx^2 + dy^2).I是长度,乘以线密度就是总的质量了
质心是位置矢量,定义为 \int \vec{r}*dm / \int dm.\int 是积分 dm 是质量微元,在你这里就是 线密度*ds啦.\vec{r}是位置,你可以拆成 (x,y),分别作积分.稍加化简就是书上的结果了.你书上线密度这个量被化简掉了,所以看起来不舒服.
星形线是关于x,y轴对称的,[0,pi]图像就在y>0上,左右对称,质心的x = 0.[0,3pi/2],质心就在y = -x 线上.要是[0,2pi],那就是完整的星形线,质心在原点.