各态历经定理（ergodic theorem）指的内容是什么呢?入门级的就好了.谢谢路飞的回答.看来各态历经的本质已经从他的名称反映出来了,除了最后2的n次方的概率我没有理解,其他的也都懂了.
问题描述：
各态历经定理（ergodic theorem）指的内容是什么呢?
入门级的就好了.
谢谢路飞的回答.
看来各态历经的本质已经从他的名称反映出来了,除了最后2的n次方的概率我没有理解,其他的也都懂了.
答
我们都知道LOG(2)是一个无理数
这样的映射f叫做无理旋转(irrational rotation)
（类似的,如果旋转的单位数是有理数就叫有理旋转
两者本质的区别在于有理旋转总可以经过若干次旋转将一个点转回到它本身
而无理旋转一个点一旦开始旋转就再不可能回到它本身
有理旋转的轨道是有限个点
而无理旋转的轨道是无限个点而且是稠密的布满整个圆周
所以无理旋转是遍历的而有理旋转不是）
遍历论的知识告诉我们
无理旋转是遍历的(ergodic)
遍历,又叫各态经历
意思就是经历各种状态
关于遍历的映射有一个基本而重要的定理(Birkhoff Ergodic Theorem)
定理的一个特殊情况是说对于一个遍历的映射
当迭代次数从0到正无穷取值时
映射的值落在某个确定的区间的概率就等于区间的测度
什么是测度呢?
可以简单理解为该区间在整个区间中所占的比重
在这个问题里,圆周长已经是1了
那么区间的测度就等于弧长
LOG(5)和LOG(6)在圆上对应的点之间的弧长就是LOG(6)-LOG(5)
所以
2的n次方的首位数字是5的概率就是LOG(6)-LOG(5)