对于实对称矩阵或可相似对角化的矩阵,其秩就是非零特征值的个数（其中n重根以n个记）,如果0不是该矩阵的特征值,此矩阵满秩.为什么是这样呢?

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:43:43

问题描述：

对于实对称矩阵或可相似对角化的矩阵,其秩就是非零特征值的个数（其中n重根以n个记）,如果0不是该矩阵的特征值,此矩阵满秩.
为什么是这样呢?

答

设原矩阵为A,相似对角矩阵为B,
则存在可逆矩阵P,使得：
B=P^(-1)·A·P
由于乘以一个可逆矩阵,
矩阵的秩不变,
∴ R(B)=R(A)

如果0不是该矩阵的特征值,

则R(A)=R(B)=n
所以,A是满秩矩阵.