将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.(1)求证:AF+EF=DE;(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其它条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立;(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其它条件不变,如图③.你认为(1)中猜想的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出AF、EF与DE之间的关系,并说明理由.
问题描述:
将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:AF+EF=DE;
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其它条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立;
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其它条件不变,如图③.你认为(1)中猜想的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出AF、EF与DE之间的关系,并说明理由.
答
知识点:本题考查了全等三角形的判定和性质,通过构建全等三角形来得出简单的线段相等是解题的关键.
(1)证明:连接BF(如图①),∵△ABC≌△DBE(已知),∴BC=BE,AC=DE.∵∠ACB=∠DEB=90°,∴∠BCF=∠BEF=90°.∵BF=BF,∴Rt△BFC≌Rt△BFE.∴CF=EF.又∵AF+CF=AC,∴AF+EF=DE.(2) 画出正确图形如图②∴...
答案解析:(1)我们已知了三角形BED和CAB全等,那么DE=AF+CF,因此只要求出EF=CF就能得出本题所求的结论,可通过全等三角形来实现,连接BF,那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键,这两三角形中已知的条件有BE=BC,一条公共边,根据斜边直角边定理,这两个直角三角形就全等了,也就得出EF=CF,也就能证得本题的结论了;
(2)解题思路和辅助线的作法与(1)完全一样;
(3)同(1)得CF=EF,由△ABC≌△DBE,可得AC=DE,AF=AC+FC=DE+EF.
考试点:全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查了全等三角形的判定和性质,通过构建全等三角形来得出简单的线段相等是解题的关键.