已知函数f(x)=x|x|+px+q(x∈R),给出下列四个命题:①f(x)为奇函数的充要条件是q=0;②f(x)的图象关于点(0,q)对称;③当p=0时,方程f(x)=0的解集一定非空;④方程f(x)=0的解的个数一定不超过两个.其中所有正确命题的序号是______.

问题描述:

已知函数f(x)=x|x|+px+q(x∈R),给出下列四个命题:①f(x)为奇函数的充要条件是q=0;②f(x)的图象关于点(0,q)对称;③当p=0时,方程f(x)=0的解集一定非空;④方程f(x)=0的解的个数一定不超过两个.
其中所有正确命题的序号是______.

①q=0时,f(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故f(x)是奇函数,反之也成立,故①正确;
②由①可知q=0时,f(x)图象关于原点对称,f(x)=x|x|+px+q的图象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位,故关于(0,q)对称正确;
对于③当p=0时,函数f(x)是增函数,方程f(x)=0的解集一定非空,正确;
对于④取p=-1,q=0,则f(x)=x|x|-x=x(|x|-1)=0,x=0或x=±1,故④错误;
故答案为:①②③.
答案解析:①q=0时,可由奇函数的定义判断正确,反过来也成立.②由①可知q=0时,f(x)图象关于原点对称,故f(x)=x|x|+px+q的图象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位,故关于(0,q)对称正确;③当p=0时,函数f(x)=x|x|(x∈R)是增函数,方程f(x)=0的解集一定非空;④中取p=-1,q=0,即可判断错误.
考试点:根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的判断;奇偶函数图象的对称性;二次函数的性质.
知识点:本题考查含有绝对值的函数的奇偶性、对称性和零点问题,综合性强,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.