某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式;(Ⅱ)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?

问题描述:

某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+

x
)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.
(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式;
(Ⅱ)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?

(Ⅰ)相邻桥墩间距x米,需建桥墩(mx−1)个则y=256(mx−1)+(2+x)x•mx=256•mx+mx+2m−256,(0<x<m)(Ⅱ)当m=640米时,y=f(x)=640×(256x+x)+1024f′(x)=640×(-256x2+12x)=640×x32−292x2∵f′(26)...
答案解析:(Ⅰ)设出相邻桥墩间距x米,需建桥墩(

m
x
−1)个,根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式;
(Ⅱ)把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0,然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入(
m
x
−1)
中求出桥墩个数即可.
考试点:根据实际问题选择函数类型;利用导数求闭区间上函数的最值.

知识点:考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力,会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力.