数列极限的定义与例题很矛盾?数列极限的定义：“一般地,对于无穷数列,如果存在一个常数A,对于预先指定的任何正数ε,都能在数列中找到一项aN,使得在这一项后面的所有的项与A的差的绝对值都小于ε(即当n＞N时,|an－A|＜ε恒成立),就将常数A叫做数列{an}的极限．”例题：an=1/n cos π/n 该题第一项得-1、第二项得0、第三项得0.1666、第四项得0.176、第五项得0.161、第六项得0.144、、、向0无限靠近问题是此题的极限结果是0,但是前几项和定义冲突,按当n＞N时,|an－A|＜ε恒成立.则第三项与极限差的绝对值为0.1666,但第四项为0.176.也就是当n＞2时,|an－A|＜0.166不成立,那如果是 an=1/n cos π/n 因为其结果是0、-1/2、0、1/4、0、-1/6、0、1/8、0、-1/10、0、1/12、、、、、其极限值是0.当n＞3时,|an－0|＜0 也不成立呀,只要是奇数项都是0,奇数项后面的|an－0|不小于0,又该如何解释呢?
问题描述：
数列极限的定义与例题很矛盾?
数列极限的定义：“一般地,对于无穷数列,如果存在一个常数A,对于预先指定的任何正数ε,都能在数列中找到一项aN,使得在这一项后面的所有的项与A的差的绝对值都小于ε(即当n＞N时,|an－A|＜ε恒成立),就将常数A叫做数列{an}的极限．”
例题：an=1/n cos π/n
该题第一项得-1、第二项得0、第三项得0.1666、第四项得0.176、第五项得0.161、第六项得0.144、、、向0无限靠近
问题是此题的极限结果是0,但是前几项和定义冲突,按当n＞N时,|an－A|＜ε恒成立.则第三项与极限差的绝对值为0.1666,但第四项为0.176.也就是当n＞2时,|an－A|＜0.166不成立,
那如果是 an=1/n cos π/n 因为其结果是0、-1/2、0、1/4、0、-1/6、0、1/8、0、-1/10、0、1/12、、、、、其极限值是0.当n＞3时,|an－0|＜0 也不成立呀,只要是奇数项都是0,奇数项后面的|an－0|不小于0,又该如何解释呢?
答
定义中说得很清楚,是能够找到某一项之后的所有项与A的差的绝对值小于ε,若你选ε=0.166,则从第5项开始就满足啊,注意,是能够找到,而不是对任意一项