利用正弦定理 解三角形 如何判断有几个解?我想知道的是 如何判断有一个解 两个解 还是无解 a

问题描述:

利用正弦定理 解三角形 如何判断有几个解?
我想知道的是 如何判断有一个解 两个解 还是无解
a

利用正弦定理解三角形,假如解得sinA=c,(其中c是一个具体数字),而且没有任何额外的条件,那么就会有两个即A=arcsin(c)或A=π-arcsin(c)。
但是假如有别的条件或者要求,那么A的取值可能就只有一个。举个例子,如果sinA=1/2,但是sinB=√2/2,那么这时A的取值就只能是arcsin(1/2)=π/6,而不再可能取值为A=π-arcsin(1/2)=5π/6。原因是这时不管B的取值为arcsin(√2/2)=π/4或者3π/4都会使得A+B>π,与三角形内角和等于π矛盾,所以A=π/6。
当然,如果有其它条件比如已知a为最长边,那么同样有可能去掉A的一个可能的取值,比如上面的A在这种情况下就不可能取π/6(因为A应该是最大角,所以一定会大于π/3)。
总之,如果除了sinA=c之外还有条件或者限制,那么A可能就只有一个解,否则就是有两个解。

方法是这样的,三角形的形状取决于它最大的那个角,同时在三角形中大角对大边,小角对小边.求出最大的那个角的余弦值,这里可以用到正弦定理或余弦定理.若余弦值为负,则说明该角为钝角,是钝角三角形;若余弦值等于零,则为指教三角形;若余弦值为正,则为锐角三角形.