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已知函数f（x）=x+1x+a2，g（x）=x3-a3+2a+1，若存在ξ1、ξ2∈[1a，a]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，则a的取值范围是______．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 04:59:41
问题描述：

已知函数f（x）=x+

1
x
+a2，g（x）=x3-a3+2a+1，若存在ξ1、ξ2∈[
1
a
，a]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，则a的取值范围是______．

答

存在ξ1、ξ2∈[

1
a
，a]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，等价于存在x∈[
1
a
，a]（a＞1），使得|f（x）min-g（x）max|≤9
∵函数f（x）=x+
1
x
+a2，ξ1∈[
1
a
，a]（a＞1），∴f（x）=x+
1
x
+a2≥2+a2，即f（x）min=2+a2；
∵g（x）=x3-a3+2a+1，∴g′（x）=3x2，∴函数g（x）在[
1
a
，a]（a＞1）上单调递增，
∴g（x）max=g（a）=2a+1
∴|2+a2-2a-1|≤9
∴-3≤a-1≤3
∴-2≤a≤4
∵a＞1，∴1＜a≤4．
故答案为：（1，4]．
答案解析：存在ξ1、ξ2∈[1a，a]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，等价于存在x∈[1a，a]（a＞1），使得|f（x）min-g（x）max|≤9，求出相应函数的最值，得到不等式，即可求出a的取值范围
考试点：利用导数求闭区间上函数的最值．
知识点：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，将存在ξ1、ξ2∈[1a，a]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，转化为存在x∈[1a，a]（a＞1），使得|f（x）min-g（x）max|≤9是解题的关键．

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