如何证明x/x+1 在0到1上的定积分小于ln(x+1)在0到1上的定积分

问题描述:

如何证明x/x+1 在0到1上的定积分小于ln(x+1)在0到1上的定积分

算出来啊
∫x/(x+1)dx
=∫[1-1/(x+1)]dx
=x-ln(x+1),0到1
=1-ln2
∫ln(x+1)dx
=∫ln(x+1)d(x+1)
=(x+1)ln(x+1)-∫(x+1)dln(x+1)
=(x+1)ln(x+1)-1,0到1
=2ln2-1-(-1)
=2ln2
既要证明1-ln2即ln2>1/3
这个显然成立

这个不用计算
证明:
设f(x)=x/(x+1)-ln(x+1)
则f'(x)=-1/(x+1)²-1/(x+1)=-(x+2)/(x+1)²
∴0≤x≤1时,f'(x)≤0
又f(0)=0
∴0≤x≤1时,f(x)