求l-2001的所有自然数中，有多少个整数x使2x与x2被7除余数相同？
问题描述：
求l-2001的所有自然数中，有多少个整数x使2x与x2被7除余数相同？
答
可见，2x÷7的余数3个一循环，x2÷7的余数7个一循环，所以，3和7的最小公倍数为21，2001÷21=95…6，每21个数中，余数相同的有6个，前6个中余数相同的有4个，所以，共有95×6+4=574（个）．
答：有574个整数x使2x与x2被7除余数相同．
答案解析：分别求出x是自然数时，2x÷7与x2÷7的余数与x的关系：找出它们余数循环的规律再进行解答．
考试点：同余定理．
知识点：本题的关键是找出余数循环的规律，再进行解答．
首先看2x÷7的余数、x2÷7的余数与x的关系：
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
| 2x÷7的余数 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 |
| x2÷7的余数 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 |
答：有574个整数x使2x与x2被7除余数相同．
答案解析：分别求出x是自然数时，2x÷7与x2÷7的余数与x的关系：找出它们余数循环的规律再进行解答．
考试点：同余定理．
知识点：本题的关键是找出余数循环的规律，再进行解答．