求证:对任意自然数n,分数21n+414n+3都不可约分.

问题描述:

求证:对任意自然数n,分数

21n+4
14n+3
都不可约分.

证明:设21n+4与14n+3的最大公约数为x,
设21n+4=ax①,14n+3=bx②,(a,b,x均为正整数),
②×3-①×2得:3bx-2ax=3(14n+3)-2(21n+4),
整理得:(3b-2a)x=1,
∵a,b,x均为正整数,
∴3b-2a为正整数,
∴x的值只能为1,
即最大公约数为1,
∴对任意自然数n,分数

21n+4
14n+3
都不可约分.
答案解析:此题可用反证法证明,先设21n+4与14n+3的最大公约数为x,设21n+4=ax,14n+3=bx,求出只存在最大公约数1,然后即可证明对任意自然数n,分数
21n+4
14n+3
都不可约分.
考试点:数的整除性.
知识点:本题考查了数的整除性,此题运用反证法证明21n+4和14n+3的最大公约数为1,即说明了无论自然数n取何值,分数
21n+4
14n+3
都不可约分,此题考查了同学们的逻辑思维能力,有一定的难度.