平面向量证明题,G是三角形ABC内一点,延长AG,BG,CG交BC,AC,AB,于D,E,F.并且向量AF=m向量FB 向量BD=n向量DC 向量CE=i向量EA,求证mni=1

三角形的面积等于底乘以高除以2,△ABD与△ACD的高是相同的,设为h,那么有 S△ABD:S△ACD = (BD*h)/2:(CD*h)/2 = BD:CD = n:1 同样△GBD与△GCD的高是相同的,设为h',那么有 S△GBD:S△GCD = (BD*h')/2:(CD*h')/2 = BD:CD = n:1 两式相减,得到 S△ABG:S△ACG = n :1,类似地可以得到 S△ACG:S△BCG = m :1,S△BCG:S△ABG = i :1,所以 mni = (S△ACG/S△BCG)*(S△ABG/S△ACG)*(S△BCG/S△ABG)=1.