双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A. （1，3）B. （1，3]C. （3，+∞）D. [3，+∞]
问题描述：
双曲线
−x2 a2
＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）y2 b2
A. （1，3）
B. （1，3]
C. （3，+∞）
D. [3，+∞]
答
设|PF1|=x，|PF2|=y，则有
，
x＝2y x−y＝2a
解得x=4a，y=2a，
∵在△PF1F2中，x+y＞2c，即4a+2a＞2c，4a-2a＜2c，
∴1＜
＜3，c a
又因为当三点一线时，4a+2a=2c，
综合得离心的范围是（1，3]，
故选B．
答案解析：可用三角形的两边和大于第三边，及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a与c的关系．
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了关于离心率范围的确定．可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法．