欲做一个底边为正方形,容积为108立方米的长方体无盖容器,问如何选择尺寸,才能使用料最省.

108的3次方根相近的数字最节省

这个要用拉格朗日乘数法做的
设x,z
在g(x,z的条件下，求s=xy+4xz的最小值的问题
构造拉格朗日函数
f(x,z)=xy+4xz+a[(x^2)z-108]
对这个函数求x,z偏导，使偏导为零。联立(x^2)z-108=0就可以计算出来了。
你自己算吧，困了，想睡觉了。

答：
设底边长为x,则高为108/x^2,表面积为S.
S=x^2+4x*108/x^2
=x^2+432/x
S'=2x-432/x^2
当S'=0时,2x-432/x^2=0
即x^3=216
解得x=6
所以底边长为6m,高为108/6^2=3m时,用料最省,此时S=108cm3

设底边长为a，高为h，则有a²h=108,所用材料的总面积为
S=a²+4ah=a²+4a*108/a²=a²+432/a
要让S最小只需求其极值点，即S'=0
S'=2a-432/a²=0 求得a=6 此时h=3