一、设V是所有n阶方阵组成的向量空间,M和N分别是由n阶上三角矩阵和和下三角矩阵组成的集合.证明：（1）M和N均是V均是V的子空间；（2）V=M⊕N；并求M和N的维数.

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:41:30

问题描述：

一、设V是所有n阶方阵组成的向量空间,M和N分别是由n阶上三角矩阵和和下三角矩阵组成的集合.
证明：（1）M和N均是V均是V的子空间；（2）V=M⊕N；并求M和N的维数.

答

证：（1）若a∈M,则a为n阶方阵,所以a∈V,所以M是V的子空间,同理可证N是V的子空间.
（2）题目出错了!因为
M∩N={n阶对角阵} 不为0,所以M+N不为直和.
且维（M）=维（N）=n*(n+1)/2 维(V)=n^2 维（V）≠维（M）+维（N）,也证明题目错了