一个实对称矩阵经过如何的变换能变成上三角矩阵或下三角矩阵求特征根的时候化行列式总是化不出来

基本思路就是矩阵的行列变换。
做题技巧需要在做题中总结，有时候还得靠自己的直觉什么的，所以这个不好说。
一般来讲，如果全是数字，那么这个矩阵要化简成上下三角矩阵不会很难，你就一行一行一列一列消去就可以了，如果还有未知数比如α什么的，道理也是一样，但是要注意的是分母为不为零，一半化简之后都要求解一个关于未知数的方程才能确定行列式参数的值。
比如说【1 1 1,3 2 1,5 7 9】这个3*3阶行列式，我们首先化a2，a31为零，再化a32为零，花间的方法就是用第一行乘上一个数然后加在第二行或者第三行上面就可以了。

你说的是分解特征多项式求特征值的方法吧
给你个例子体会一下:
2 -1 -1
-1 2 1
-1 1 2
求A的特征值λ
|A-λE|=
2-λ -1 -1
-1 2-λ 1
-1 1 2-λ
r3-r2
2-λ -1 -1
-1 2-λ 1
0 λ-1 1-λ
这一步关键:将某行(列)一个数化为0的同时,另两个含λ的元素差一个倍数,这样就可以提出λ的一个因子,也可以继续化简.
c2+c3
2-λ -2 -1
-1 3-λ 1
0 0 1-λ
= (1-λ)*
2-λ -2
-1 3-λ
这个2次的λ的多项式,可用十字相乘法分解.
|A-λE|=
2-λ -1 -1
-1 2-λ 1
-1 1 2-λ
r1+r2,r3-r2
1-λ 1-λ 0
-1 2-λ 1
0 λ-1 1-λ
c2-c1+c3
1-λ 0 0
-1 4-λ 1
0 0 1-λ
= (1-λ)^2(4-λ)
所以A的特征值为1,1,4.