有一道关于集合,对于集合{1,2,……,n}和它的每个非空子集,我们定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列,然后从最大的数开始交替的加减各数.例如{1,2,4,6,9}的交替和是9-6+4-2+1=6,而{5}的交替和就是5,对于n=7,求所有这些交替和的总和.
问题描述：
有一道关于集合,
对于集合{1,2,……,n}和它的每个非空子集,我们定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列,然后从最大的数开始交替的加减各数.例如{1,2,4,6,9}的交替和是9-6+4-2+1=6,而{5}的交替和就是5,对于n=7,求所有这些交替和的总和.
答
对1,2,-,6位这么想嘛:
比如4吧
4被加的次数等于含后三位中偶数个数的集合个数,
被减的次数等于含后三位中奇数个的数集合个数,
而此两者和为:
C30-C31+C33=(1-1)^3=0
所以4的作用抵消了.
其他位一样,还可以推广到n.
答
我不知道我说得对不对,
这个集合的子集个数为2的n次方,
n=7时,包含7的子集个数为剩下元素的子集个数即2的6次方,这个你应该知道吧.
出现7的集合,7在交替和运算中总是被加上的,所以2的6次方*7,
出现6的集合当然可能有7,6,7同在时集合数为2的5次方,这时6在交替和里是被减去的,所以-6*2的5次方,同理,6被加上的集合数为2的5次方,这样就抵消了,
5被加上时有两种情况,一是最大是5,还有是6,7都有,这样按照上面的方法,可以推出所有被加上的5的总和为5*2的5次方,5被减去时,6,7必有一个,所以是2*2的4次方*5,也是5*2的5次方,又抵消了,
经计算,4也抵消了,3,2也应该是吧（没算,不过我想应该是）,
在这里算一下1,1被加上时除了它还要有偶数个数或0个,所以是2的5次方*1,被减去时也是2的5次方*1,所以也抵消了,
综上,交替和的总和为2的6次方*7=448