在平面直角坐标系xOy中,设直线y=3x+2m和圆x2+y2=n2相切,其中m,n∈N,0<|m-n|≤1,若函数f(x)=mx+1-n的零点x0∈(k,k+1)k∈Z,则k=______.

问题描述:

在平面直角坐标系xOy中,设直线y=

3
x+2m和圆x2+y2=n2相切,其中m,n∈N,0<|m-n|≤1,若函数f(x)=mx+1-n的零点x0∈(k,k+1)k∈Z,则k=______.

∵直线y=3x+2m和圆x2+y2=n2相切,∴圆心到直线的距离是半径n,∴2m2=n∴2m=2n,∵m,n∈N,0<|m-n|≤1,∴m=3,n=4,∴函数f(x)=mx+1-n=3x+1-4,要求函数的零点所在的区间,令f(x)=0,即3x+1-4=0,∴3x+1=4,...
答案解析:根据直线和圆相切知圆心到直线的距离等于半径,得到关于m和n的一个关系,又有m,n∈N,0<|m-n|≤1,得到m和n的值,代入所给的函数式,那么本题就变化为求一个函数的零点的范围,两边取对数,写出x的表示式,根据对数的图象得到范围.
考试点:直线与圆的位置关系;函数的零点.


知识点:本题考查直线和圆的位置关系,考查函数的零点,解决本题还要有归纳整理的能力,本题是一个综合题,运算量不大但是解题时技巧性比较强,是一个好题.