集合A={X|X=a+√2 b,a∈Z,b∈Z}判断下列元素X=0,(√2 -1)分之1,根号三减根号二分之一与集合A之间关系希望可以详细一点,让人可以理解,

问题描述:

集合A={X|X=a+√2 b,a∈Z,b∈Z}判断下列元素X=0,(√2 -1)分之1,根号三减根号二分之一与集合A之间关系
希望可以详细一点,让人可以理解,

因为a∈Z,b∈Z,a+√2 b不可能为零,因此0不属于A;
因为(√2 -1)分之1=√2 +1,显然就是A中a=1,b=1时的元素,因此(√2 -1)分之1属于A;
因为根号三减根号二分之一=√3 +√2,又 因为a∈Z,b∈Z,a+√2 b不可能为√3 +√2,因此根号三减根号二分之一不属于A。

x=0显然属于A,其它的分母有理化得:x=1/(根号2-1)=(根号2+1)/(根号2-1)(根号2+1)=根号2+1,x=1/(根号3-根号2)=(根号3+根号2)/(根号3-2)(根号3+2)=根号3+根号2,所以x=1/(根号2-1),0属于A(分别令a,b=1),x=1/(根号3-根号2)不属于A

当a=0,b=0时,X=a+√2 b=0;
1/(√2 -1)=1*(√2 +1)/(√2 -1)*(√2 +1)=√2 +1,当a=1,b=1时,X=√2 +1;
1/(√3 -√2)=√3 +√2 【仿照上面进行分式有理化】,当b=1时,X=a+√2,若1/(√3 -√2)属于A,那么必然有a=√3,这与已知a∈Z矛盾。
综合上述来讲,X=0,X=1/(√2 -1)属于A,X=1/(√3 -√2)不属于A。

Z表示整数集,a∈Z,b∈Z说明a,b都是整数
1.a=b=0时X=0,所以X=0属于集合A
2.(√2 -1)分之1分子有理化等于√2 +1,取a=b=1就可以,所以X=(√2 -1)分之1属于集合A
3.根号三减根号二分之一找不到与之对应的整数ab,所以X=根号三减根号二分之一不属于集合A

由题设可知,若x∈A,
则x=a+(√2)b,其中,a,b∈Z.
[1]
当x=0时,显然此时a=b=0.
即x=0=0+(√2)×0
∴0∈A.
[2]
有理化可知
1/(√2-1)=1+√2
=1+(√2)×1
即1+√2可以写成1+(√2)×1的形式.
显然,此时a=b=1.
∴1+√2∈A
[3]
有理化可得
1/(√3-√2)=√3+√2.
显然此时√3+√2不是a+√2b的形式.
∴1/(√3-√2)不属于A