有理数指数幂证明证明a^b*a^c=a^(b*c)(a^b)^c=a^(bc)(ab)^c=a^c*b^c在有理数适用,要求证明严格完整准确.打错，a^b*a^c=a^(b+c) 定理是在整数范围现在证明的是有理数范围！再加上教科书要求证明！定理是在整数范围a^b*a^c=a^(b+c)(a^b)^c=a^(bc)(ab)^c=a^c*b^c都成立，要求证明a^b*a^c=a^(b+c)(a^b)^c=a^(bc)(ab)^c=a^c*b^c在有理数适用，在无理数适用还需要用微积分来证明的！不要以为很简单！

既然是有理数，把b、c什么的表示成m/n分数形式，m,n为正整数且互质，两边乘方就好证了

在实数范围内都是成立的，何况整数、有理数呢。这是课本规定，不须证明的。也就是已经知道了在整数范围内成立了，以后使用是，若a、b、c是实数，还是按照这些公式用就行了。

老大，这个还用证明啊，这都是定理啊！就像（a+b)c=ab+ac一样，证明没有意思的！交换律结合律！

1、
a^b=a*a*a*...a (b个a连乘)
a^c=a*a*a*...a (c个a连乘)
所以，a^b*a^c=a^(b+c)，即(b个a连乘)*(c个a连乘)=(b+c个a连乘)
如：2^2*2^3=(2*2)*(2*2*2)=2*2*2*2*2=2^5=2^(2+3)
2、
a^b=a*a*a*...a (b个a连乘)
(a^b)^c=[a*a*a*...a (b个a连乘)]*[a*a*a*...a (b个a连乘)]*[a*a*a*...a (b个a连乘)]*...*[a*a*a*...a (b个a连乘)] {亦即c个[a*a*a*...a (b个a连乘)]连乘}
所以， (a^b)^c=a^(bc)，即c个（b个a连乘）=b*c个a连乘。
如(2^2)^3=(2*2)*(2*2)*(2*2)=2*2*2*2*2*2=2^6=2^(2*3)
3、
(ab)^c=ab*ab*ab*...*ab (c个ab连乘)
亦即，(ab)^c=ab*ab*ab*...*ab (c个ab连乘) =（c个a连乘）*（c个b连乘）
所以，(ab)^c=a^c*b^c
如(2*3)^5=(2*3)*(2*3)*(2*3)*(2*3)*(2*3)=(2*2*2*2*2)*(3*3*3*3*3)=2^5*3^5

证明这三个命题之前,首先可以确认,
a^b*a^c=a^(b+c)
(a^b)^c=a^(bc)
在b,c是整数时成立
(a*b)^c=a^c*b^c在c为整数时成立
证明和a是整数是完全一样,不再赘述
1.
由b,c有理数,设b=u/v,c=x/y,(u,v)=1,(x,y)=1
a^b*a^c=a(u/v)*a(x/y)
设s=a(u/v),t=a(x/y)
s^v=a^u,t^y=a^x
s^vy=a^uy,t^vy=a^xv
所以s^vy*t^vy=(st)^vy=a^uy*a^vx=a^(uy+vx)
st=a^((uy+vx)/vy)=a^(u/v+x/y)=a^(b+c)
得证
2.
设b=u/v,c=x/y,(u,v)=1,(x,y)=1
(a^b)^c=(a^(u/v))^(x/y)设为t
t^y=(a^(u/v)^x
设s=(a^(u/v))
那么s^v=a^u
s^vx=a^ux=(s^x)^v=(t^y)^v=t^(yv)
所以t=a^(ux/yv)=a^(bc),得证
3.
设c=x/y,(x,y)=1
设(ab)^c=t
(ab)^(x/y)=t
(ab)^x=t^y=a^x*b^x
当m,n是有理数,y是整数时,(mn)^(1/y)=m^(1/y)*n^(1/y)仍成立
因左边^y=mn,右边^y=(m^(1/y)^y)*(n^(1/y))^y=mn
所以t=(a^x*b^x)^(1/y)=(a^x)^(1/y)*(b^x)^(1/y)=a^(x/y)*^b(x/y)=a^c*b^c
所以(ab)^c=a^c*b^c,得证