已知双曲线C的渐近线方程为y＝±3x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为3．（1）求双曲线C的方程；（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：|AB||FD|为定值．
问题描述：
已知双曲线C的渐近线方程为y＝±
x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为
3
．
3
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：
为定值． |AB| |FD|
答
知识点：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与曲线相交求解弦长，解题中要善于应用两直线垂直得斜率之间的关系．
（1）设双曲线方程为3x2-y2=λ（λ＞0）…（2分）由题知c=2，∴λ3+λ＝4，∴λ=3…（4分）∴双曲线方程为：x2−y23＝1…（5分）（2）设直线l的方程为y=k（x-2）代入x2−y23＝1整理得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0…（6分...
答案解析：（1）由渐近线方程为y＝±
x，可设双曲线方程为3x2-y2=λ（λ＞0），由题知c=2，代入可求双曲线方程
3
（2）设直线l的方程为y=k（x-2）代入x2−
＝1，整理得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0y2 3
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点P（x0，y0）则利用方程的根与系数的关系可求x0，y0．利用弦长公式可表示AB，然后由AB的垂直平分线方程可求D的坐标，进而求出FD，从而可求
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题．
知识点：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与曲线相交求解弦长，解题中要善于应用两直线垂直得斜率之间的关系．