设A=2αα^T-ββ^T,其中αβ正交且均为实3维单位列向量,证明：（1）α,β都是A的特征向量,并求相应的特征值；（2）A相似于对角阵,试说明理由,并求出相应的对角阵；（3）当参数K满足什么条件时,kE+A是正定矩阵.

分类: 作业答案 • 2021-12-20 00:56:36

问题描述：

设A=2αα^T-ββ^T,其中αβ正交且均为实3维单位列向量,证明：
（1）α,β都是A的特征向量,并求相应的特征值；
（2）A相似于对角阵,试说明理由,并求出相应的对角阵；
（3）当参数K满足什么条件时,kE+A是正定矩阵.

答

由已知
Aα=2αα^Tα-ββ^Tα = 2α
Aβ=2αα^Tβ-ββ^Tβ = -β
r(A) = r(2αα^T-ββ^T)