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椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的倾斜角为30°直线交椭圆于A、B两点，弦长|AB|=8，若三角形ABF2的内切圆的面积为π，则椭圆的离心率为（　　）A. 22B. 36C. 12D. 33

分类: 作业答案 • 2021-12-19 23:41:29

问题描述：

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过焦点F₁的倾斜角为30°直线交椭圆于A、B两点，弦长|AB|=8，若三角形ABF₂的内切圆的面积为π，则椭圆的离心率为（　　）

A.

2

2

B.

3

6

C.

1

2

D.

3

3

答

直线AB的方程为y=

3

3

（x+c），即x-

3

y+c=0，
F₂到直线AB的距离d=

2c

2

=c，三角形ABF₂的内切圆的面积为π，则半径为1，
∴由等面积可得

1

2

×8×c＝

1

2

×4a×1，
∴e=

c

a

=

1

2

故选：C．
答案解析：由等面积可得

1

2

×8×c＝

1

2

×4a×1，即可求出椭圆的离心率．
考试点：椭圆的简单性质．

知识点：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质．