一题很困惑的定积分题∫[0到π] xdx/(4+sin²x)∫[0到π] xdx/(4+sin²x)用了公式∫[0到a]f(x)dx=∫[0到a]f(a-x)dx,得到(π/2)∫[0到π] dx/(4+sin²x)原函数是[arctan(√5/2*tanx)]/(2√5)+C先算出原函数,再代入上下限这个方法不行tan(π)=tan(0)=0,无法算出啊
问题描述：
一题很困惑的定积分题∫[0到π] xdx/(4+sin²x)
∫[0到π] xdx/(4+sin²x)
用了公式∫[0到a]f(x)dx=∫[0到a]f(a-x)dx,得到(π/2)∫[0到π] dx/(4+sin²x)
原函数是[arctan(√5/2*tanx)]/(2√5)+C
先算出原函数,再代入上下限这个方法不行
tan(π)=tan(0)=0,无法算出啊
答
那是因为你求原函数时分子分母同除以cos^2x了,这样得到的原函数在x＝pi/2时不连续,因此不能用Newton——Leibniz公式了.必须分解为0到pi/2和pi/2到pi两个区间分别计算就可以了.
当x从pi/2－时,tanx趋于正无穷,arctan正无穷是pi/2,因此0到pi/2的积分值是pi/【4根号(5)】.
另外一个类似得到pi/【4根号(5)】,两者相加是pi/【2根号(5)】.