三棱锥侧面与顶面所成角相等,则顶点在地面的射影是内心.怎么证明?
问题描述：
三棱锥侧面与顶面所成角相等,则顶点在地面的射影是内心.怎么证明?
MS如果知道摄影在二面角底面垂直的那条直线上就好证明了..但怎么证明..
答
这个题挺容易证明的啊!
设三棱锥为P-ABC,做PO垂直于面ABC于O,做OE、OF、OG分别垂直于AB、AC、BC.因为AB⊥OE,且AB⊥PO,所以AB⊥PE,即角PEO为面PAB与面ABC的夹角.所以OE=POcot∠PEO.同理∠PFO与∠PGO都是侧面与底面的二面角,所以这三个角相等.所以OE=OF=OG=POcot∠PEO=POcot∠PFO=POcot∠PGO.所以O点即为其内心（EFG三点所在的圆O为内切圆）