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已知点A（-3，5），B（2，15），在直线l：3x-4y+4=0上求一点P，使|PA|+|PB|最小．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 21:22:55
问题描述：

已知点A（-3，5），B（2，15），在直线l：3x-4y+4=0上求一点P，使|PA|+|PB|最小．

答

由题意知，点A、B在直线l的同一侧．由平面几何性质可知，先作出点A关于直线l的对称点A′，
然后连接A′B，则直线A′B与l的交点P为所求．
事实上，设点P′是l上异于P的点，则|P′A|+|P′B|=|P′A′|+|P′B|＞A′A′B|=|PA|+|PB|．
设A′（x，y），则

y−5
x+3
•
3
4
＝−1，且 3•
x−3
2
-4
y+5
2
+4=0，解得 x=3，y=-3，∴A′（3，-3），
∴直线A′B的方程为18x+y-51=0．
由
3x−4y+4＝0
18x+y−51＝0
，解得
x＝
8
3
y＝3
，
∴P（
8
3
，3）．

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