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已知F1，F2为椭圆C：C：x2a2+y2b2＝1，（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：d，b，a成等比数列；（2）若M的坐标为（2，1），求椭圆C的方程；

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:34:44
问题描述：

已知F1，F2为椭圆C：C：

x2
a2
+
y2
b2
＝1，（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．
（1）证明：d，b，a成等比数列；
（2）若M的坐标为（
 2
，1），求椭圆C的方程；

答

（1）证明：先求M点坐标把x=c代入椭圆方程

c2
a2
+
y2
b2
＝1求得则y=
b2
a

即d=
b2
a

∴d×a=b2故d，b，a成等比数列
（2）依题意可知
a2−b2＝2
2
a2
+
1
b2
＝1
解得b2=2，a2=4
故椭圆的方程为
x2
4 
+
y2
2
＝1．
答案解析：（1）先把x=c代入椭圆方程求得y，进而求得d，可知d×a=b2，进而根据等比中项的性质，原式得证．
（2）把M坐标代入椭圆方程求得a和b的关系，进而根据c=1求得a和b的另一个关系，联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得．
考试点：等比关系的确定；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
知识点：本题主要考查了椭圆的简单性质，等比数列的性质，椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题的能力．

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