设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A^3＝0,则E－A和E＋A是否可逆解这种题的思路是什么?为什么我复习一遍课本后怎么还是不会写呢?

0=A^3
E=E+A^3=(E+A)(E-A+A^2)
E+A可逆,(E+A)^(-1)=E-A+A^2
0=A^3
-E=A^3-E=(A-E)(A^2+A+E)
E=(E-A)(A^2+A+E)
E-A可逆,(E-A)^(-1)=A^2+A+E

另一个方法是这样:
令 B = E-A,则 A = E-B
代入 A^3 = 0
得 E-3B+3B^2-B^3 = 0
所以 B(B^2-3B+3E) = E.
所以 B 可逆 ,且 B^-1 = B^2-3B+3E.
即E-A 可逆,且(E-A)^(-1)=(E-A)^2-3(E-A)+3E=A^2+A+E