如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6． （1）求证：△ABD是正三角形； （2）求AC的长（结果可保留根号）．
问题描述：
如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6．
（1）求证：△ABD是正三角形；
（2）求AC的长（结果可保留根号）．
答
（1）证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴AC平分∠BCD．
∵∠ACD=30°，
∴∠BCD=60°．（1分）
∵∠BAD与∠BCD是菱形的一组对角，
∴∠BAD=∠BCD=60°．（2分）
∵AB、AD是菱形的两条边，
∴AB=AD．（3分）
∴△ABD是正三角形．（4分）
（2）∵O为菱形对角线的交点，
∴AC=2OC，OD=
BD=3，∠COD=90°．（5分）1 2
在Rt△COD中，
=tan∠OCD=tan30°，OD OC
∴OC=
=OD tan30°
=33
3
3
．（6分）
3
∴AC=2OC=6
．
3
答：AC的长为6
．（7分）
3