函数f(x)在[a,b]上有定义且|f(x)|在[a,b]上可积,此时f(x)在[a,b]上的定积分为什么不一定存在?
问题描述：
函数f(x)在[a,b]上有定义且|f(x)|在[a,b]上可积,此时f(x)在[a,b]上的定积分为什么不一定存在?
这是同济大学《高等数学》第六版 第269页 总习题五 第1题 第(4)个填空题
但是没弄懂为什么.
可积分一定能推出连续吗,f(x)在[a,b]上有界且有有限间断点则f(x)也是可积的
下面是前人的答案
函数可积的条件是：若函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a.b]上可积.
对于你的问题我举个反例你就知道了,
设f(x)=1(x≥0),-1(x＜0）（一个分段函数形式）
此时f(x)不是连续函数,但是|f(x)|=1是连续函数
所以f(x)不一定可积.
答
可以肯定前面人举的反例是错误的!
这个问题的反例应该是有无限个间断点,如下面的函数：
在【a,b】上,
f（x）=1 (x为有理数时)
f（x）=-1（x为无理数时）
这个函数的绝对值是可积的,但是其本身并不可积!