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设点P在曲线y=12ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（　　） A.1-ln2 B.2(1-ln2) C.1+ln2 D.2(1+ln2)

分类: 作业答案 • 2021-12-18 12:04:27
问题描述：

设点P在曲线y=

1
2
ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（　　）
A. 1-ln2
B.
2
(1-ln2)
C. 1+ln2
D.
2
(1+ln2)

答

∵函数y=

1
2
ex与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，
函数y=
1
2
ex上的点P(x，
1
2
ex)到直线y=x的距离为d=
|
1
2
ex-x|
2
，
设g（x）=
1
2
ex-x（x＞0），则g′(x)=
1
2
ex-1，
由g′(x)=
1
2
ex-1≥0可得x≥ln2，
由g′(x)=
1
2
ex-1＜0可得0＜x＜ln2，
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，
∴当x=ln2时，函数g（x）min=1-ln2，
dmin=
1-ln2
2
，
由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2dmin=
2
(1-ln2)．
故选B．

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