已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx的图像与x轴相切于非原点的一点,且函数f(x)的极小值点为-1求b,c的值

从函数图像与X轴相切于非原点,且另有极小值-1来看,函数f(x)=x^3+bx^2+cx图像是从左下向右上方延伸的,切于X轴后回落,因此有极大值0,再切于y=-1线后回升并且穿过原点（从函数公式代入X=0得Y=0可知）,然后一直向上.因此一元三次函数有两个根,一个是切于x轴的重根,另一个是原点（0,0）.且重根是负数值.


根据一元三次方程判别公式,当Δ=B^2－4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个二重根.
对于标准一元三次方程：a'X^3+b'X^2+c'X+d'=0,本函数中a'=1,b'=b,c'=c,d'=0



判别式Δ中,根据本题的参数：A=b'^2-3a'c'=b^2-3c；B=b'c'-9a'd'=bc；C=c'^2-3a'd'=c^2


Δ=B^2－4AC=0,即(bc)^2-4(b^2-3c)(c^2)=b^2·c^2-4b^2·c^2+12c^3=12c^3-3b^2·c^2
=3c^2·(4c-b^2)=0.得c=0或c=(b^2)/4.


由于f(x)切于X轴和y=-1线,求f(x)一阶导数.f'(x)=3·x^2+2b·x+c,令f'(x)=3·x^2+2b·x+c=0.

即f'(x)=3·x^2+2b·x=0或f'(x)=3·x^2+2b·x+(b^2)/4=0.


由于f(x)有两处导数为0(y=0和y=-1),所以f'(x)有两个实数根.由一元二次方程的判别式：Δ=B^2－4AC>0得,(2b)^2>0（c=0)或者(2b)^2-12·(b^2)/4>0（c=(b^2)/4）,得b>0.


使用一元二次方程求根公式：f'(x)的根：x1、x2=(-B+-(B^2-4AC)^1/2)/2A,
当c=0,x1、x2=(-2b+-2b)/6,x1=-2/3·b,x2=0
当c=(b^2)/4,x1、x2={-2b+-[(2b)^2-4*3*(b^2)/4]^1/2}/6=(-2b+-b)/6,x1=-b/2,x2=-b/6


由函数f(x)曲线可知,当取x1时,曲线切于X轴,f(x)=0；取x2时,切于y=-1线,f(x)=-1；x1<x2.观察当c=0时,x2=0.当X=0时,曲线已经穿过X轴上升,导数一定不为0,故此c=0情况不采用,只采用c=(b^2)/4的情况.


当c=(b^2)/4,x1=-b/2,x2=-b/6,分别求f(-b/2)和f(-b/6).得f(-b/2)=0,f(-b/6)=-b^3/54.
因为f(x1)=f(-b/2)=0,f(x2)=f(-b/6)=-b^3/54=-1,
所以b=54^(1/3)=3*2^(1/3),即2开三次方再乘以3
       c=[9*4^(1/3)}/4,即4开三次方再乘以9,然后除以4.  


可代入原函数,取x1=-b/2,x2=-b/6验算,得出0和-1.