抛物线y2=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，且|AF|+|BF|=8． （1）求P的值； （2）求点C的坐
问题描述：
抛物线y2=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，且|AF|+|BF|=8．
（1）求P的值；
（2）求点C的坐标；
（3）求直线l的斜率k的取值范围．
答
（1）由
得：y2-2py+2p=0（p＞0）有两个相等实根
y2＝2px(p＞0) y＝x+1
即△=4p2-8p=4p（p-2）=0，得：p=2为所求；
（2）抛物线y2=4x的准线x=-1．
且|AF|+|BF|=8，由定义得x1+x2+2=8，则x1+x2=6
设C（m，0），由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|
则(x1−m)2+y12＝(x2−m)2+y22
(x1−m)2−(x2−m)2＝−y12+y22
（x1+x2-2m）（x1-x2）=-4（x1-x2）
因为x1≠x2，所以x1+x2-2m=-4
又因为x1+x2=6，所以m=5，则点C的坐标为（5，0）；
（3）设AB的中点M（x0，y0），有x0＝
＝3
x1+x2
2
设直线l方程y=k（x-5）过点M（3，y0），得y0=-2k
又因为点M（3，y0）在抛物线y2=4x的内部，则y02＜12
得：4k2＜12，则k2＜3
又因为x1≠x2，则k≠0
故k的取值范围为(−
0)∪(0，
3，
)．
3