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如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点

分类: 作业答案 • 2021-12-16 18:30:59
问题描述：

如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=

9
2
a时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．

答

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵

BE＝CE
∠B＝∠C
BP＝CQ
，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴
BP
CE
＝
BE
CQ
，
∵BP=a，CQ=
9
2
a，BE=CE，
∴
a
CE
＝
CE
9
2
a
，
∴BE=CE=
3
2
2
a，
∴BC=3
2
a，
∴AB=AC=BC•sin45°=3a，
∴AQ=CQ-AC=
3
2
a，PA=AB-BP=2a，
在Rt△APQ中，PQ=
AQ2+AP2
=
5
2
a．

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