设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点． （1）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式； （2）若|x1|+|x2|=22，求b的最大值．．
问题描述：
设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2
，求b的最大值．．
2
答
（1）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），
∴f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）
依题意有
，
f′(-1)=0 f′(2)=0
∴
(a＞0)．
3a-2b-a2=0 12a+4b-a2=0
解得
，
a=6 b=-9
∴f（x）=6x3-9x2-36x．．
（2）∵f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），
依题意，x1，x2是方程f'（x）=0的两个根，
且|x1|+|x2|=2
，
2
∴（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=8．
∴(-
)2-2•(-2b 3a
)+2|-a 3
|=8，a 3
∴b2=3a2（6-a）
∵b2≥0，
∴0＜a≤6设p（a）=3a2（6-a），
则p′（a）=-9a2+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，
由p'（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，
在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为4
．
6