已知椭圆x/a+y/b=1（a>b>0）的两焦点为F1,F2,M为椭圆上一点,且∠F1MF2=2a,求证|MF1|*|MF2|*cosa=b
问题描述：
已知椭圆x/a+y/b=1（a>b>0）的两焦点为F1,F2,M为椭圆上一点,且∠F1MF2=2a,求证|MF1|*|MF2|*cosa=b
答
由椭圆定义 |MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,设t=|MF1|*|MF2| 余弦定理 cos2a=(MF1^2+MF2^2-F1F2^2)/2t=(4a^2-2t-4c^2)/2t=(2b^2-t)/t=2b^2/t-1 ∵cos2a=2cosa^2-1 ∴cosa^2=(cos2a+1)/2=b^2/t ∴tcosa^2=b^2即|MF1|*|MF2|*cosa^2=b^2