椭圆压轴题

（Ⅰ）将x=y-b代入抛物线y^2=4x得y^2-4y+4b=0
由于直线与抛物线相切,故Δ=16-16b=0,即 b=1
又因为椭圆的两焦点与短轴的一个端点连线构成一个等腰直角三角形,
则b=c=(√2/2)a
所以 a=√2,b=1,c=1
所求椭圆方程为x^2/2+y^2=1
（Ⅱ）首先分析：取两个特殊情况,若AB在x轴上,此时圆为x^2+y^2=1;若AB//x轴,可求得圆的方程为x^2+6(y+1/3)^2=16/9,可见,这两个圆只有一个公共点（0,1）,下面只需判断动圆是否恒过点（0,1）.
设椭圆上的点A、B坐标为（√2cosα,sinα）、（√2cosβ,sinβ）
（其中α≠2kπ+β,k为整数）
则动圆方程为(x-√2cosα)(x-√2cosβ)+(y- sinα)(y- sinβ)=0……（1）
由于A、B、S三点共线,则√2cosα（sinβ+1/3）-√2cosβ（sinα+1/3）=0
展开得3（sinαcosβ- cosαsinβ）= cosα- cosβ
运用三角函数的和积互化公式得
3sin(α-β)/2cos(α-β)/2+sin(α+β)/2 cos(α-β)/2=0
显然得3cos(α-β)/2=- sin(α+β)/2…………（2）
将点（0,1）的坐标代入（1）的左侧并运用（2）,整理得
(0-√2cosα)(0-√2cosβ)+(1- sinα)(1- sinβ)
=2 cosαcosβ+1+ sinαsinβ- sinα- sinβ
= 1+(1/2) cos（α+β）+(3/2) cos（α-β）-2 sin(α+β)/2 cos(α-β)/2
= (cos(α+β)/2)^2-1+3 (cos（α-β）/2)^2-2 sin(α+β)/2 cos(α-β)/2
= - (sin(α+β)/2)^2+(1/3) (sin(α+β)/2)^2+(2/3) (sin(α+β)/2)^2
=0
故点（0,1）坐标适合圆的方程,
因此,以AB为直径的圆必过定点T（0,1）.