电磁场理论中的三维张量与相对论中的四维张量推广到四维的定义,把相对论电动力学写成协变的张量方程

在说明具体问题之前,先约定一下标记的方法：“^”表示抗变指标；“_”表示协变指标；∂Q/∂x^μ=Q,μ；“：”表示求协变导数；希腊字母表示该指标可以取“0,1,2,3”；英文字母表示该指标可以取“1,2,3”；一个指标在一项里出现两次表示使用Einstein求和约定.
构造四维电磁张量首先是从真空中的Maxwell的电磁方程组出发,即：
▽·E=ρ/ε0
▽·B=0
▽×E=-∂B/∂t
▽×B=-1/c^2*∂E/∂t+μ0*j；c是真空中的光速,c=1/√(ε0*μ0)；ε0,μ0分别表示真空中的介电和介磁常数.
引入辅助量电磁矢势A和标势φ：
B=▽×A；E=-▽φ-∂A/∂t
并按照Lorentz规范条件：
▽·A+1/c^2*∂φ/∂t=0
这样Maxwell方程组就可以写成关于矢势和标势的形式（“△”表示Laplace算符）,即：
(△-1/c^2*∂/∂t)A=-μ0*j
(△-1/c^2*∂/∂t)φ=-ρμ0*c^2；ρ代表电荷密度,j表示三维电流密度矢量.
这样,三维电流密度矢量,和电荷密度可以构成四维电流密度矢量J^μ,即：
J^μ=(ρc,ij);J^0=ρc,J^1=i*j1;J^2=i*j2;J^3=i*j3
电磁矢势和表示构成四维电磁矢势A^μ,即：
A^μ=(φ/c,iA),其中i是虚实算符,即i^2=-1；
A^0=φ/c；A^1=i*A1；A^2=i*A2；A^3=i*A3
利用D'Alembert算符四维电磁矢势满足的Maxwell方程可以简记为：
□A^μ=-μ0*J^μ；□=△-1/c^2*∂^2/∂t^2
因此引入反称张量F_μν=A_μ,ν-A_ν,μ
再由A_μ=g_μν*A_ν,可知：
E^1=-A^1,0-A^0,1=A_1,0-A_0,1=F_10=-F^10
B^1=A^3,2-A^2,3=-A_3,2+A_2,3=F_23=F^23
于是由Maxwell方程组的第一,第四式可知：
F^μν,ν=μ0*J^μ.(1)
由Maxwell方程组的第二,第三式可知:
F^μν,σ+F^νσ,μ+F^σμ,ν=0.(2)
现在只要将(1),(2)过度到协变方程即可.
对于（1）式,由协变微分的法：
A_μ:ν-A_ν:μ=A_μ,ν-Γ^ρ_μν*A_ρ-(A_ν,μ-Γ^ρ_μν*A_ρ)=A_μ,ν-A_ν,μ
由于:F^μν=A_μ,ν-A_ν,μ,因此(1)可以直接过渡到协变方程,即:
F^μν=A_μ:ν-A_ν:μ
F^μν：ν=μ0*J^μ
对于(2)式,由协变微分法:
F_μν:σ=F_μν,σ-Γ^α_μσ*F_αν-Γ^α_νσ*F_μα
F_νσ:μ=F_νσ,μ-Γ^α_νμ*F_ασ-Γ^α_σμ*F_να
F_σμ:ν=F_σμ,ν-Γ^α_σν*F_αμ-Γ^α_σν*F_σα
将上面三式相加,并注意到反称张量F_μν=-F_νμ,所以有:
F_μν:σ+F_νσ:μ+F_σμ:ν=F^μν,σ+F^νσ,μ+F^σμ,ν=0
这样便将Maxwell方程组过渡到了四维协变方程组,即：
F^μν=A_μ:ν-A_ν:μ
F^μν：ν=μ0*J^μ
F_μν:σ+F_νσ:μ+F_σμ:ν=0
另外,张量的定义就是：
T^μ'ν'_α'β'γ'=x^μ'_μ*x^ν'_ν*x^α_α'*x^β_β'*x^γ_γ'*T^μν_αβγ
对于一个有n个抗变指标和m个协变指标的量,凡是满足上面的变换方式的就都是张量,矢量是只有一个指标的张量.