如何运用牛顿第二定律解题

力和运动关系的两类基本问题
关于运动和力的关系,有两类基本问题,那就是：
① 已知物体的受力情况,确定物体的运动情况；
② 已知物体的运动情况,确定物体的受力情况.
1．\x09从受力确定运动情况
已知物体受力情况确定运动情况,指的是在受力情况已知的条件下,要求判断出物体的运动状态或求出物体的速度和位移.处理这类问题的基本思路是：先分析物体的运动情况求出合力,根据牛顿第二定律求出加速度,再利用运动学的有关公式求出要求的速度和位移.
2．\x09从运动情况确定受力
已知物体运动情况确定受力情况,指的是在运动情况（如物体的运动性质、速度、加速度或位移）已知的条件下,要求得出物体所受的力.处理这类问题的基本思路是：首先分析清楚物体的受力情况,根据运动学公式求出物体的加速度,然后在分析物体受力情况的基础上,利用牛顿第二定律列方程求力.
3．\x09加速度a是联系运动和力的纽带
在牛顿第二定律公式（F=ma）和运动学公式（匀变速直线运动公式v=v0+at, x=v0t+ at2, v2－v02=2ax等）中,均包含有一个共同的物理量——加速度a.
由物体的受力情况,利用牛顿第二定律可以求出加速度,再由运动学公式便可确定物体的运动状态及其变化；反过来,由物体的运动状态及其变化,利用运动学公式可以求出加速度,再由牛顿第二定律便可确定物体的受力情况.
可见,无论是哪种情况,加速度始终是联系运动和力的桥梁.求加速度是解决有关运动和力问题的基本思路,正确的受力分析和运动过程分析则是解决问题的关键.
4．\x09解决力和运动关系问题的一般步骤
牛顿第二定律F=ma,实际上是揭示了力、加速度和质量三个不同物理量之间的关系.方程左边是物体受到的合力,首先要确定研究对象,对物体进行受力分析,求合力的方法可以利用平行四边形定则或正交分解法.方程的右边是物体的质量与加速度的乘积,要确定物体的加速度就必须对物体的运动状态进行分析.
由此可见,应用牛顿第二定律结合运动学公式解决力和运动关系的一般步骤是：
①\x09确定研究对象；
②\x09分析研究对象的受力情况,必要时画受力示意图；
③\x09分析研究对象的运动情况,必要时画运动过程简图；
④\x09利用牛顿第二定律或运动学公式求加速度；
⑤\x09利用运动学公式或牛顿第二定律进一步求解要求的物理量.
6. 教材中两道例题的说明
第1道例题已知物体受力情况确定运动情况,求解时首先对研究的物体进行受力分析,根据牛顿第二定律由合力求出加速度,然后根据物体的运动规律确定了物体的运动情况（末速度和位移）.
第2道例题已知物体运动情况确定受力情况,求解时首先对研究的物体进行运动分析,从运动规律中求出物体运动的加速度,然后根据牛顿第二定律得出物体受到的合力,再对物体进行受力分析求出了某个力（阻力）.
在第2道例题的求解过程中,我们还建立了坐标系.值得注意的是：在运动学中通常是以初速度的方向为坐标轴的正方向,而在利用牛顿第二定律解决问题时,通常则是以加速度的方向为坐标轴的正方向.
应用牛顿运动定律解题的技巧
牛顿运动定律是动力学的基础,也是整个经典物理理论的基础.应用牛顿运动定律解决问题时,要注意掌握必要的解题技巧：
①\x09巧用隔离法当问题涉及几个物体时,我们常常将这几个物体“隔离”开来,对它们分别进行受力分析,根据其运动状态,应用牛顿第二定律或平衡条件（参见下一节相关内容）列式求解.特别是问题涉及物体间的相互作用时,隔离法不失为一种有效的解题方法.(参阅本节例5)
②\x09巧用整体法将相互作用的两个或两个以上的物体组成一个整体（系统）作为研究对象,去寻找未知量与已知量之间的关系的方法称为整体法.整体法能减少和避开非待求量,简化解题过程.整体法和隔离法是相辅相成的.(参阅本节例5“点悟”)
③\x09巧建坐标系通常我们建立坐标系是以加速度的方向作为坐标轴的正方向,有时为减少力的分解,也可巧妙地建立坐标轴,而将加速度分解,应用牛顿第二定律的分量式求解.(参阅本章第3节例5)
④\x09巧用假设法对物体进行受力分析时,有些力存在与否很难确定,往往用假设推理法可以迅速解决.使用这种方法的基本思路是：假设某力存在（或不存在）,然后利用已知的物理概念和规律进行分析推理,从而肯定或否定所做的假设,得出正确的判断.(参阅本章“综合链接”例4)
⑤\x09巧用程序法按时间顺序对物体运动过程进行分析的解题方法称为程序法.其基本思路是：先正确划分问题中有多少个不同的运动过程,然后对各个过程进行具体分析,从而得出正确的结论.(参阅本章“亮点题粹”题4)
⑥\x09巧建理想模型应用牛顿第二定律解题时,往往要建立一些理想模型.例如：将物体看成质点,光滑接触面摩擦力为0,细线、细杆及一般的物体为刚性模型,轻弹簧、橡皮绳为弹性模型等等.(参阅本章第3节例6)
⑦\x09巧析临界状态在物体运动状态的变化过程中,往往在达到某个特定状态时,有关的物理量将发生突变,此状态称为临界状态.利用临界状态的分析作为解题思路的起点,是一条有效的思考途径.(参阅本章第7节例3)
⑧\x09巧求极值问题求解极值问题常可采用物理方法和数学方法.建立物理模型,分析物理过程,这是物理解法的特征.数学解法则是先找出物理量的函数关系式,然后直接应用数学方法求的极值.(参阅本章“亮点题粹”题8)
例1 在交通事故的分析中,刹车线的长度是很重要的依据,刹车线是汽车刹车后,停止转动的轮胎在地面上发生滑动时留下的滑动痕迹.在某次交通事故中,汽车的刹车线长度是14 m,假设汽车轮胎与地面间的动摩擦因数恒为0.7,g取10m/s2,则汽车刹车前的速度为（ ）
A. 7 m/s\x09\x09\x09B. 10 m/s\x09\x09C. 14 m/s\x09\x09\x09\x09D. 20 m/s
提示设法求出汽车刹车后滑动的加速度.
解析设汽车刹车后滑动的加速度大小为a,由牛顿第二定律可得
μmg=ma,a=μg.
由匀变速直线运动速度—位移关系式v02=2ax,可得汽车刹车前的速度为
m/s=14m/s.
正确选项为C.
点悟本题以交通事故的分析为背景,属于从受力情况确定物体的运动状态的问题.求解此类问题可先由牛顿第二定律求出加速度a,再由匀变速直线运动公式求出相关的运动学量.
例2 　蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目,一个质量为60kg的运动员,从离水平网面3.2m高处*下落,着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面5.0m高处.已知运动员与网接触的时间为1.2s,若把在这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理,求此力的大小（g取10m/s2）.
提示将运动员的运动分为下落、触网和蹦回三个阶段研究.
解析　将运动员看作质量为m的质点,从h1高处下落,刚接触网时速度的大小为
（向下）；
　弹跳后到达的高度为h2,刚离网时速度的大小为
　 （向上）.
速度的改变量 Δv＝v1＋v2（向上）.
以a表示加速度,Δ t表示运动员与网接触的时间,则
Δv＝a Δ t.
接触过程中运动员受到向上的弹力F和向下的重力mg,由牛顿第二定律得
F－mg＝ma.
　由以上各式解得,
　代入数值得　F＝1.5×103N.
　点悟　本题为从运动状态确定物体的受力情况的问题.求解此类问题可先由匀变速直线运动公式求出加速度a,再由牛顿第二定律求出相关的力.本题与小球落至地面再弹起的传统题属于同一物理模型,但将情景放在蹦床运动中,增加了问题的实践性和趣味性.题中将网对运动员的作用力当作恒力处理,从而可用牛顿第二定律结合匀变速运动公式求解.实际情况作用力应是变力,则求得的是接触时间内网对运动员的平均作用力.
例3如图4—37所示,一水平传送带长为20m,以2m/s的速度做匀速运动.已知某物体与传送带间的动摩擦因数为0.1,现将该物体由静止轻放到传送带的A端.求物体被送到另一端B点所需的时间.（g 取10m/s2）
提示本题要计算物体由A到B的时间,分析物体运动过程,有两种可能.一种可能是从静止开始一直加速到B,知道加速度就可求出运动时间；另一种可能是,物体加速一段时间后速度与传送带相同,接着做匀速运动,有两个过程,要分别计算时间.
解析物体受重力mg、支持力FN和向前的摩擦力F作用,由牛顿第二定律,有
F=ma,
又FN－mg=0, F=μFN,
解得 a=μg=0.1×10m/s2=1 m/s2.
当物体做匀加速运动达到传送带的速度v=2m/s时,其位移为
m=2m＜20m,
所以物体运动2m后与传送带一起匀速运动.
第一段加速运动时间为s=2s,
第二段匀速运动时间为 s=9s.
所以,物体在传送带上运动的总时间为
t=t1+t2=2s+9s=11s.
点悟物体受力情况发生变化,运动情况也将发生变化.此题隐含了两个运动过程,如不仔细审题,分析运动过程,将出现把物体的运动当作匀速运动（没有注意到物体从静止开始放到传送带上）,或把物体的运动始终当作匀加速运动.请将本题与练习巩固（4—1）第7题作一比较.
例4如图4—38所示,风洞实验室中可产生水平方向的、大小可调解的风力.现将一套有小球的细直杆放入风洞实验室,小球孔径略等大于直径.
（1）当杆在水平方向固定时,调解风力的大小,使小球在杆上做匀速运动,这时小球所受的风力为小球所受重力的0.5倍,求小球与杆间的动摩擦因数.
（2）保持小球所受的风力不变,使杆与水平方向的夹角为370并固定,则小球从静止出发在细杆上滑下距离s所需时间为多少?(sin370=0.6, cos370=0.8)
提示注意（1）中小球做匀速运动,（2）中小球做匀加速运动,两种情况风力及小球与杆间的动摩擦因数均不变,不要错误地认为滑动摩擦力相同.
解析(1) 设小球所受风力为F,则 F=0.5mg.
当杆水平固定时,小球做匀速运动,则所受摩擦力Ff与风力F等大反向,即
Ff=F.
又因Ff=μFN=μmg,
以上三式联立解得小球与杆间的动摩擦因数μ=0.5.
(2) 当杆与水平方向成θ=370角时,小球从静止开始沿杆加速下滑.设下滑距离s所用时间为t,小球受重力mg、风力F、杆的支持力FN’和摩擦力Ff’作用,由牛顿第二定律可得,
沿杆的方向 Fcosθ+mgsinθ－Ff’=ma,
垂直杆的方向 FN’+F sinθ－mgcosθ=0,
又 Ff’= μFN’, F=0.5mg,
解得小球的加速度
.
因 ,
故小球的下滑时间为 .
点悟本题是牛顿运动定律在科学实验中应用的一个实例,求解时先由水平面上小球做匀速运动时的二力平衡求出动摩擦因数,再分析小球在杆与水平面成370角时的受力情况,根据牛顿第二定律列出方程,求得加速度,再由运动学方程求解.这是一道由运动求力,再由力求运动的典型例题.
发展级
例5如图4—39所示,箱子放在水平地面上,箱内有一固定的竖直杆,杆上套着一个圆环.箱子的质量为M,环的质量为m,圆环沿杆滑动时与杆间有摩擦.
(1)\x09若环沿杆加速下滑,环与杆间摩擦力的大小为F,则箱子对地面的压力有多大?
(2)\x09若环沿杆下滑的加速度为a,则箱子对地面的压力有多大?
(3)\x09若给环一定的初速度,使环沿杆上滑的过程中摩擦力的大小仍为F,则箱子对地面的压力有多大?
(4)\x09若给环一个初速度v0,环沿杆上滑h高后速度恰好为0,则在环沿杆上滑的过程中箱子对地面的压力有多大?
提示由于环沿杆下滑和上滑时的加速度与箱子不同,因此应分别以环和箱子为研究对象,分析它们的运动情况和受力情况,并找出它们之间的联系.
解析(1) 环沿杆下滑时,环受到的摩擦力方向向上,箱子（即杆）受到的摩擦力方向向下,故箱子受到地面的支持力 FN=Mg+F.
根据牛顿第三定律可知,箱子对地面的压力
FN’= FN=Mg+F.
(2) 环以加速度a加速下滑,由牛顿第二定律有
mg－F=ma,
故环受到的摩擦力F=m(g－a).
直接应用(1)的结果,可得箱子对地面的压力
FN’ =Mg+F=Mg+ m(g－a)=(M+m)g－ma.
(3) 环沿杆上滑时,环受到的摩擦力方向向下,箱子（即杆）受到的摩擦力方向向上,故箱子受到地面的支持力 FN=Mg－F.
根据牛顿第三定律可知,箱子对地面的压力
FN’= FN=Mg－F.
(4) 由运动学公式v02=2ah,
可得环沿杆上滑做匀减速运动的加速度大小为
,
由牛顿第二定律有mg+F=ma,
故环受到的摩擦力 F=m(a－g).
直接应用(3)的结果,可得箱子对地面的压力
FN’ =Mg－F=Mg－m(a－g)=(M+m)g－ma=(M+m)g－ .
点悟上述将圆环和箱子分隔开来,分别对它们进行受力分析和运动分析的方法,称为隔离法.在问题涉及多个物体组成的系统时,常常运用隔离法分析求解.
本题第（2）小题也可采用整体法分析：圆环和箱子组成的系统受重力(M+m)g和地面的支持力FN的作用.因为圆环向下的加速度a应由系统的合外力提供,故有
(M+m)g－FN=ma,
解得FN=(M+m)g－ma.
由牛顿第三定律可得,箱子对地面的压力
FN’ = FN=(M+m)g－ma.
本题第（4）小题在求得环沿杆上滑做匀减速运动的加速度大小后,也可采用整体法分析,请自行解答.
例6一个行星探测器从所探测的行星表面竖直升空,探测器的质量为1500 kg,发动机推力恒定.发射升空后9 s末,发动机突然间发生故障而关闭.图4—40是从探测器发射到落回地面全过程的速度图象.已知该行星表面没有大气,不考虑探测器总质量的变化,求：
(1) 探测器在行星表面上升达到的最大高度 H；
(2) 该行星表面附近的重力加速度g；
(3) 发动机正常工作时的推力F.
提示题给速度图象中,B点时刻是速度正负的转折点,故B点时刻探测器升至最大高度；A点时刻是加速度正负的转折点,故A点时刻是发动机刚关闭的时刻.
解析(1) 0～25s内探测器一直处于上升阶段,上升的最大高度在数值上等于△OAB的面积,即H= ×25×64 m=800 m.\x09\x09\x09\x09
(2) 9 s末发动机关闭,此后探测器只受重力作用,故在这一阶段的加速度即为该行星表面的重力加速度,由图象得g= = m/s2=4 m/s2,\x09\x09\x09\x09\x09\x09
(3) 由图象知探测器加速上升阶段探测器的加速度为
a= m/s2,
根据牛顿运动定律,得 F－mg=ma,
所以发动机正常工作时的推力F=m(g+a)=1.67×104 N.\x09\x09\x09\x09\x09\x09
点悟本题是应用牛顿运动定律求解的图象类问题,仍属于已知运动求力的问题,只是将物体的运动情况由图象反映出来.此类问题求解的关键是,要根据图象的特点,挖掘图象中的隐含条件,把图象与物体的实际运动对应起来进行研究.