已知一段线段,定长,记为a.如何用尺规作图做出a²的长度（PS：是长度）.

分析：设线段y,y^2=a*a,所以y是a和a的比例中项.
作法：作线段AB=2a,以AB为直径作半圆,过圆心O作OC⊥AB交半圆于C,则OC为所求的线段y
证明：连结AC、BC,因AB是直径,所以∠ACB=Rt∠,因OC⊥AB,由射影定理得OC^2=OA*OB,即y^2=a*a,所以y是所求的比例中项.
讨论：由作图可知,y的长与a的长相等（同圆的半径）.为什么a^2会等于a呢?其实,设a的长度为1,则a^2=1,这是不错的.但是这里是两个不同的概念,a是一条线段,而a^2是以a为边长的正方形的面积.如果a的长是1个单位长度,则a^2是1个单位面积.我说的是长度，而不是几何意义你提的问题是“用尺规作图做…”，既然前提是尺规作图，按尺规作图的意义，就是：用直尺和圆规在有限次的情况下作出合乎要求的图形。注意这里的直尺就是没有刻度的尺子，它只是用来作直线的。圆规就不用再说了。那么你所提出已知的线段，就是任意一段长度已经确定了的线段。它的长是多少，我们并不去度量。这些问题都是在几何的范畴中所研究的。回到问题中来，你已知的定长线段记为a，则a就是它的长度。它可能是1厘米，也可能是2厘米，或者是1千米，总之是a。而a^2已经不再是这条线段的长了，它是以a为正方形边长的单位面积了。也许你所提的与我所回答的并不是同样的内容，再讨论下去就没有意义了。