有一如图所示形状的四边形铁皮ABCD,它是由Rt△ABC和等边△ACD组成,且角B＝60°,角ACB＝90°,DC＝3,以点D为圆心,DC长为半径做圆弧AC得到一个扇形,剪下该扇形并把它围成一个圆锥的侧面.问在上面加下的余料中,能见下一个圆
问题描述：
有一如图所示形状的四边形铁皮ABCD,它是由Rt△ABC和等边△ACD组成,且角B＝60°,角ACB＝90°,DC＝3,以点D为圆心,DC长为半径做圆弧AC得到一个扇形,剪下该扇形并把它围成一个圆锥的侧面.问在上面加下的余料中,能见下一个圆作为此圆锥的底面圆吗?试说明理由.
答
DC=AC=3,∠ACB=90°,∠ABC=60°,可求得:BC=√3;
设与弧AC,BC,AB都相切的圆O切BC于F,切AB于G(如图),连接OG,OF,OB,OD;
作DE垂直BC的延长线于E,作OM垂直DE于M.可求得EC=3√3/2.
∠ADC=60°,DC=3,则弧AC的长为:60*π*3/180=π,即扇形ADC所围圆锥的底面周长.
则底面周长的半径为:π/(2π)=0.5.
设圆O的半径为X,则:BO=2X,BF=√3X,OM=FE=EC+BC-BF=5√3/2-√3X;
DM=DE-ME=AC/2-OF=3/2-X.
∵DM²+OM²=OD²,即(3/2-x)²+(5√3/2-√3x)²=(3+x)²,x²-8x+4=0.
∴x=4±2√3.(x=4+2√3不合题意,舍去）
故圆O的半径为4-2√3,即余料中所能剪出的圆最大半径为4-2√3.
因为4-2√3≈0.536>0.5,所以在余料中能剪下一个圆作为此圆锥的底面圆.