自选题：如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E． （1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段
问题描述：
自选题：
如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
答
（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴
=AP DC
，AE DP
∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ2=3AP-AP2，
∴AP2-AQ2=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3
∵AP≠AQ，
∴AP≠
，即P不能是AD的中点，3 2
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．
（2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（3-x）=2y，
∴y=
x（3-x）=-1 2
x2+1 2
x=-3 2
（x-1 2
）2+3 2
，9 8
∴当x=
（在0＜x＜3范围内）时，y最大值=3 2
；9 8
而此时BE最小为
，7 8
又∵E在AB上运动，且AB=2，
∴BE的取值范围是
≤BE＜2．7 8