如图,已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不与点C重合. (Ⅰ)当CF=1时,求证:EF⊥A1C; (Ⅱ)设二面角C-AF-E的大小为θ,求tanθ的最小值.

问题描述:

如图,已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不与点C重合.

(Ⅰ)当CF=1时,求证:EF⊥A1C;
(Ⅱ)设二面角C-AF-E的大小为θ,求tanθ的最小值.

(I)过E作EN⊥AC于N,连接EF,NF,AC1,由直棱柱的性质可知,底面ABC⊥侧面A1C
∴EN⊥侧面A1C
NF为EF在侧面A1C内的射影
则由

CF
CC1
CN
CA
1
4
,得NF∥AC1,又AC1⊥A1C,故NF⊥A1C
由三垂线定理可知EF⊥A1C
(II)连接AF,过N作NM⊥AF与M,连接ME
由(I)可知EN⊥侧面A1C,根据三垂线定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ
设∠FAC=α则0°<α≤45°,
在直角三角形CNE中,NE=
3
,在直角三角形AMN中,MN=3sinα
故tanθ=
3
3sinα
,又0°<α≤45°∴0<sinα≤
2
2

故当α=45°时,tanθ达到最小值,
tanθ=
6
3
,此时F与C1重合.