已知A是n阶矩阵,A的平方为A,且秩(A)为r.证明A可以相似对角化,并求A的相似对角形及行列式|A+E|
问题描述：
已知A是n阶矩阵,A的平方为A,且秩(A)为r.证明A可以相似对角化,并求A的相似对角形及行列式|A+E|
答
由A^2=A可知A的极小多项式m(x)|x^2-x, 这表明m(x)没有重根, 从而A可以对角化, 且A的特征值只可能是0, 1. 故A相似于对角阵D=diag(1, ..., 1, 0, ..., 0), 其中D的对角线上有r个1, n-r个0. 于是A+E就相似于对角阵D'=diag(2, ..., 2, 1, ..., 1), 其对角线上有r个2, n-r个1. 所以, |A+E|=|D'|=2^r.
答
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