已知对给定的方阵A,存在正整数k使A的k次方等于0,试证E+A可逆
问题描述：
已知对给定的方阵A,存在正整数k使A的k次方等于0,试证E+A可逆
答
设a是A的特征值
则a^k是A^k的特征值
因为 A^k=0,而零矩阵的特征值只能是0
所以a^k=0
所以a=0.
故A的特征值为0,...,0
所以 A+E 的特征值为 1,...,1
所以 |A+E|=1
故 A+E 可逆.