设O为坐标原点,F1,F2是x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的焦点,若双曲线上存在一点P满足∠F1PF2=60°且|OP|=根号7乘a,则双曲线的渐近线方程为?
问题描述：
设O为坐标原点,F1,F2是x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的焦点,若双曲线上存在一点P满足∠F1PF2=60°且|OP|=根号7乘a,则双曲线的渐近线方程为?
答
因为|OP|=根号7乘a ,设P(x,y) x^2+y^2=7a^2 x^2/a^2--y^2/b^2=1
y^2=6(ab)^2/(b^2+a^2)=6(ab)^2/c^2
因为∠F1PF2=60° 设F1P与X轴夹角为a1 tana1=y/(x+c)
设F2P与X轴夹角为a2 tana2=y/(x--c) a2--a1=60
tan60=根3=tan(a2--a1)=[y/(x--c)-y/(x+c)]/[1+y/(x--c)*y/(x+c)]=2yc/(x^2+y^2--c^2)=
根3=2yc/(7a^2--c^2) y=根3(7a^2--c^2)/2c y^2=3(7a^2--c^2)^2/4c^2=6(ab)^2/c^2
(6a^2--b^2)^2=8(ab)^2 6a^2--b^2=2根2ab b=√2a b=--3v2a