已知向量OA=a,OB=b,a·b=|a-b|=2,当△AOB的面积最大时,求a与b的夹角.
问题描述：
已知向量OA=a,OB=b,a·b=|a-b|=2,当△AOB的面积最大时,求a与b的夹角.
答
|a-b|=2 平方得a^2+b^2-2a·b=4 由于a·b=2,a^2+b^2=8
又由不等式a^2+b^2>=2ab ab由公式S=0.5|a||b|sinx 于是|a||b|sinx=2S (1)
而a·b=|a||b|cosx=2 (2)
将(1)式和(2)式平方相加 |a|^2|b|^2=4S^2+4
又由前面ab当且仅当|a|=|b|=2时等号成立 代入(2)式可知cosx=1/2 x=pie/3
此时S=0.5|a||b|sinx=0.5*2*2*sqrt(3)/2=sqrt(3)
所以夹角是pie/3